Кафедра прикладної математики ХНУРЕ

Мова:

Таємниці лунок Гіппократа

Древньогрецькі математики були зачаровані притаманною геометрії красою, симетрією та порядком. Поділяючи з іншими цю пристрасну захопленість, Гіппократ Хіоський показав, яким чином можна побудувати квадрат, рівний за площею заданій лунці – серпоподібній фігурі, утвореній випуклими дугами двох кіл. Знаходження Гіппократом квадратури лунок є одним з найраніших відомих прикладів математичних доказів. Іншими словами, Гіппократ продемонстрував, що площа цих лунок може бути точно виражена через площу прямолінійної фігури, або «квадратури». У наведеному тут прикладі сумарна площа жовтих лунок, що дотикаються вершин прямокутного трикутника, дорівнює площі цього трикутника.

Під знаходженням квадратури древні греки розуміли побудову за допомогою циркуля та лінійки такого квадрата, площа якого була б рівна площі заданої фігури. Якщо таке побудову можливе, про фігуру говорять, що вона є квадрируємою. Греки добре освоїли побудову квадратур многокутників, але задачі знаходження квадратури криволінійних фігур виявилися набагато складнішими. Власне, на перший погляд було вельми сумнівно, що криволінійні об’єкти взагалі можна квадрувати.

Гіппократ також відомий тим, що склав перший відомий систематичний труд з геометрії, зробивши це майже за століття до Евкліда. Евклід міг використовувати деякі з ідей Гіппократа у власних «Началах». Праці Гіппократа примітні тим, що вони заклали загальні структурні основи, від яких могли в подальшому відштовхуватися інші математики.

Пошуки Гіппократом розв’язку для задачі про лунки були спробою просунутися у знаходженні «квадратури кола» – побудові квадрата, рівновеликого (рівного за площею) колу. Математики намагалися розв’язати проблему «квадратури кола» протягом більш ніж 2000 років, поки нарешті у 1882 р. Фердинанд фон Лінденман не довів, що це неможливо. Зараз нам відомо, що існує всього п’ять типів квадрируємих лунок. Три з них були відкриті Гіппократом, а два інших знайдені в середині 1770-х рр.