Цікавий світ фракталів
В рамках заходу для школярів під час зимових канікул Nure Winter Holidays професор кафедри прикладної математики Кіріченко Людмила Олегівна розповіла про цікавий світ фракталів.
Фрактал – це геометричний об’єкт, який можна розділити на частини, кожна схожа на вихідний об’єкт. Фрактали мають нескінченну кількість деталей і часто самоподібні та масштабовані. У багатьох випадках фрактали можуть бути створені за допомогою повторюваних шаблонів, рекурсивних або ітераційних процесів.
Основними властивостями, які характеризують фрактали, є самоподібність, нескінченна складність і розмірність.
Самоподібність
Самоподібність — властивість, коли частину фігури або контуру можна розглядати як копію цілого в меншому масштабі.
Нескінченна складність
Ця властивість вказує, що процес формування графіка є рекурсивним. Це означає, що коли процедура виконується, сама раніше виконана процедура виявляється підпроцедурою в її процедурі.
Варто зазначити, що у випадку ітераційної побудови математично визначеного фрактала програма, яка виконується, є нескінченною, що призводить до нескінченно складної структури.
Розміри
На відміну від евклідової геометрії, розмірність фракталів не є обов’язково цілочисельним значенням. У цьому розділі математики точки мають нульовий вимір, лінії мають один вимір, поверхні мають два виміри, а об’єми мають три виміри. У випадку фракталів розмір – це дробова величина, яка описує, наскільки добре структура займає простір, який її містить.
Приклади фракталів
Першими вивченими фракталами були множина Кантора, сніжинка Коха і трикутник Серпінського. Фрактали можна отримати геометрично або стохастично за допомогою рекурсивних процесів, які можуть набувати характеристик різних типів фігур, які зустрічаються в природі.
Фрактали існують скрізь. Існує багато природних об’єктів, які вважаються природними фракталами через їхню поведінку або структуру, але це скінченні типи фракталів, що відрізняє їх від фракталів математичного типу, створених рекурсивними взаємодіями. Прикладами таких є хмари та дерева.
Ключові особливості
Слово «фрактал» походить від латинського fractus, що означає «роздроблений», «розбитий», і добре підходить для об’єктів з дробовими розмірами. Термін був введений Бенуа Мандельбротом у 1977 році і з’явився в його книзі «Фрактальна геометрія природи». Вивчення фрактальних об’єктів часто називають фрактальної геометрією.
Фрактал — це математичний набір, який може характеризуватися самоподібністю в будь-якому масштабі, і його розміри не є цілими числами. Той факт, що він самоподібний, означає, що фрактальний об’єкт не залежить від самого спостерігача, тобто якщо взяти якийсь фрактал, ми можемо переконатися, що при подвійному масштабуванні рисунок такий самий, як і на першому. Якщо ми збільшимо масштаб у 1000 разів та перевіримо ті самі властивості, то графік буде таким же, тож частина подібна до цілого.
Існує багато звичайних об’єктів, які вважаються природними завдяки своїй структурі або поведінці. Навіть якщо ми їх не впізнаємо. Хмари, гори, узбережжя, дерева та річки — все це природні фрактали, хоча й кінцеві, а отже, не ідеальні, на відміну від математичних фракталів, які насолоджуються нескінченністю та є ідеальними.
Фрактали і наука
Фрактальне мистецтво тісно пов’язане з математикою, особливо з геометрією, оскільки, як випливає з назви, воно використовує поняття фракталів. Фрактали засновані на постійному повторенні геометричного малюнка, тобто частина дорівнює цілому.
При побудові трикутника Серпінського з рівностороннього трикутника візьміть його середину, утворіть новий рівносторонній трикутник і виключіть центральний. Потім зробіть те ж саме з кожним трикутником, що залишився, і так далі, тому цей трикутник вважається фрактальним. Бенуа Мандельброт відкрив математичні форми, відомі як фрактали. Мандельброт, громадянин Франції та Америки, розробив фрактали як математичний метод для розуміння нескінченної складності природи.
Щоб розглянути класифікацію від загальної до спеціальної, ми можемо розділити фрактали на дві великі категорії: детерміновані фрактали (які, в свою чергу, можуть бути алгебраїчними або геометричними) і недетерміновані фрактали (також відомі як стохастичні фрактали).
Повсякденне життя
Хмари, гори, кровоносні системи, узбережжя або сніжинки – все це природні фрактали.
Фрактальна геометрія намагається змоделювати та описати багато природних явищ і наукових експериментів, і всього за кілька років вона стала мультидисциплінарним інструментом, який використовують вчені, лікарі, художники, соціологи, економісти, метеорологи, музиканти та інші фахівці.